¿Qué son las matemáticas?
Esta en todos los lugares, la escuela, el trabajo o muchas ocasiones hasta lo encontramos en nuestros tiempos libres y diversiones.
Es importante aprenderlas jugando y utilizando la imaginación, empleando problemas de la vida cotidiana.
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CONCEPTO DE ÁLGEBRA
El nombre que identifica a una rama de las matemáticas que emplea números letras y signos y hacer referente a las operaciones aritméticas.
Su latín, significa reducción o cotejo.
ELEMENTOS
La expresión algebraica es aquella compuesta por 4 elementos que son: literal, signo, exponente, coeficiente.
Es importante que para su resolución debemos comenzar con las potencias, multiplicación, división y finalmente la suma y la resta.
El álgebra generaliza operaciones utilizando símbolos y letras. Utiliza un lenguaje especifico llamado lenguaje algebraico que es basado en un lenguaje común.
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ORIGEN DE LA ÁLGEBRA
Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas cartográficas. Entre las tablillas babilónicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de raíces cuadradas y cúbicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuación cuadrática. Un examen cuidadoso de las tablillas babilónicas muestra claramente que mediante esos cálculos sus autores no sólo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros más abstractos y artificiales, y que lo hacían para desarrollar técnicas de solución y ejercitarse en su aplicación.
CLASIFICACIÓN DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS
MONOMIO: expresión algebraica formada por un solo termino 2a, a, 1/2xy.
BINOMIO: expresión algebraica formada por dos términos a+b, 2a+3x
TRINOMIO: expresión algebraica por tres términos a+b+c
POLINOMIO: expresión algebraica formada por ds o mas terminis
GRADO ABSOLUTO
ABSOLUTO: puede ser absoluto con relación a la letra. Así, en el polinomio x4-5x3+x2-3x el romer termino es de cuarto grado, el segundo de tercer geado,
ORDENAMIENTO DE POLINOMIOS
un polinomio es una expresión que consta de mas de un termino y su ordenamiento puede ser:
5x4 + 9x6 - 3x2 + x - 7x3
ASCENDENTE DESCENDENTE
x - 3x2 - 7x3 +5x4 + 9x6 9x6 + 5x4 - 7x3 - 3x2 - x
GRADO DE POLINOMIO
Puede ser absoluto o con relación a una letra (es el grado de su termino de mayor grado).
Valor absoluto: Así, en el polinomio x4 - 5x3 + x2 - 3x el primer termino es de 4° grado, el segundo termino es de 3° grado, el tercero de 2° grado y el ultimo de 1° grado, el grado absoluto del polinomio es el cuarto.
Valor por una letra: Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así el polinomio a6 + a4x2 - a2x4 es el sexto grado con relación a la a y cuarto grado con relación a la x.
TIPOS DE TÉRMINOS ALGEBRAICOS
Termino es una expresión algebraica que consta de un solo simbolo o de varios no separados entre si por el signo mas (+) o menos (-).
- TERMINO ENTERO: el que no tiene denominador literal como 5a, 6a4b2, 2a/5
- TERMINO FRACCIONARIO: el que tiene denominador literal como 3a/b
- TERMINO RACIONAL: el que no tiene radical como los ejemplos anteriores e irracional que tiene radical
- HOMOGENEO: cuando todos son del mismo grado
- TERMINO IRRACIONAL: tiene radical
CALCULO MENTAL
Consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos comocalculadoras o incluso lápiz y papel o los dedos para contar fácilmente. También se puede considerar cálculo mental al uso del cerebro y cuerpo. Algunos calculistas pueden realizar operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos muchas veces no coinciden con los mejores calculistas.
LENGUAJE COMÚN
Es el que comúnmente utilizamos a través de un denominado código o lenguaje, por lo que a partir de este podemos relacionarnos mutuamente, ya que lo ocupamos en la vida diaria
LENGUAJE ALGEBRAICO
La principal función de lenguaje álgebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente. Ejemplos:
2x2y3
|
es semejante a
|
-
|
2
3 |
x2y3
|
-3x5y
|
es semejante a
|
2yx5
| ||
4xy1/2
|
es semejante a
|
-
|
2
3 |
y1/2x
|
4x2y
|
no es semejante a
|
3xy2
| ||
De igual manera, 3x2 y 5x2 son términos semejantes, también se pueden sumar:
3x2 + 5x2 = 8x2
SUMA DE MONOMIO
Suma: puede ser un aumento o disminución o se asigna un signo, cuando el signo es negativo se escribe dentro de un paréntesis
La suma de dos monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn = (a + b)bxn
2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2x2 y3 + 3x2 y3 z
SUMA DE POLINOMIOS
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3
P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5
LEYES DE LOS EXPONENTES
LAS LEYES DE EXPONENTES SON:
- LEY DE LA MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.
- LEY DE LA DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente.
- PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS: toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero.
- PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.
- LEY DE LA INVOLUCION, O ELEVAR A UNA POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes.
- LEY DE LA EVOLUCION, O DE LA EXTRACCION DE RAICES: al extraer la raíz de una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la raíz.
- Esta es una consecuencia natural de la ley de extracción de raíces: una expresión radical cualquiera puede transformarse en una expresión en notación exponencial.
- Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división:
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficientees el producto del coeficiente de monomio por el número.
5 · (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base
axn · bxm = (a · b)xn +m
(5x2 y3 z) · (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR POLINOMIO
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes elproducto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
JOHN DEWEY
John Dewey (Burlington, Vermont, 20 de octubre de 1859 – Nueva York, 1 de junio de 1952) fue un filósofo, pedagogo y psicólogo estadounidense.
En palabras del catedrático de Historia Robert B. Westbrook, Dewey fue «el filósofo estadounidense más importante de la primera mitad del siglo XX»,1 y fue, junto conCharles Sanders Peirce y William James, uno de los fundadores de la filosofía delpragmatismo. Asimismo, fue, durante la primera mitad del siglo XX, la figura más representativa de la pedagogía progresista en Estados Unidos. Aunque se le conoce mejor por sus escritos sobre educación, Dewey también escribió influyentes tratados sobre arte, lógica, ética y democracia, en donde su postura se basaba en que sólo se podría alcanzar la plena democracia a través de la educación y la sociedad civil. En este sentido, abogaba por una opinión pública plenamente informada mediante la comunicación efectiva entre ciudadanos, expertos y políticos, con estos últimos siendo plenamente responsables ante la ciudadanía por las políticas adoptadas.
La influencia de Dewey sigue siendo discutida hoy día respecto a los fallos del sistema escolar estadounidense: por un lado, es criticado por los conservadores fundamentalistas, y por otra parte es considerado el «precursor inspirador de los reformadores partidarios de una enseñanza “centrada en el niño”»
LA PEDAGOGIA DE FRANCISCO FERRER GUARDIA
"Exigencia de una buena enseñanza basica hasta los 10 años, basado en una libre actividad infantil y en la creatividad"
influencia de la pedagogía racionalista
* la escuela moderna influye en las escuelas laicas del estado español
El paln educativo de Barthe, recupera la vieja idea internacional de trabajo util productivo
*reuniones periodicas entre alumnos
DIVISION MONOMIO ENTRE MONOMIO
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendomayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
axn : bxm = (a : b)xn − m
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
TRIANGULO PASCAL
En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francésBlaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.1Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.
FACTORIZACION
En matemáticas, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétricacomo el RSA.
Factorización de un polinomio
Los pasos a seguir para factorizar un polinomio y hallar sus raíces son:
1º Sacar factor común en el caso de que no haya término independiente.
2º Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos un binomio.
3º Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si es un trinomio.
Sacar factor común
Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.
a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)
Una raíz del polinomio será siempre x = 0
x3 + x2 = x2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1
Doble extracción de factor comúun
x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.
a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2
a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2
Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 yx2, el polinomio descompuesto será:
a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )
FUNCIÓN
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es 
, es decir, cualquier número real tiene imagen.
, es decir, cualquier número real tiene imagen.Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
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